Analyse de Fourier

Théorème de Fourier | Quelques cas particuliers d'addition de sinusoïdes | Comment traiter un son non-périodique | Courbe d'enveloppe
 

Théorème de Fourier

Fourier a démontré qu'un signal périodique de fréquence F pouvait être décomposé en une somme de sinusoïdes dont les fréquences respectives sont des multiples de la fréquence fondamentale F. On a ainsi :

F0 = F (composante fondamentale)
F1 = 2F0
F2 = 3F0
F3 = 4F0

etc.

F1, F2, F3, ... , Fn, sont les composantes harmoniques du signal, c'est-à-dire des multiples entiers de sa composante fondamentale.

Les formules de Fourrier permettent de calculer l'amplitude an et la phase de chaque harmonique :

On peut s'en servir pour engendrer des spectres d'amplitude ou des spectres de phase.

Toutefois l'oreille humaine ne peut pas distinguer des sons ayant des spectres d'amplitude identiques mais des spectres de phase différents. En fait, les altérations du spectre de phase contribuent - dans l'audition bi-aurale - à déterminer la direction de la source sonore et à établir la sensation de stéréophonie. Ceci dit, l'étude des variations de phase ne présente plus aucun intérêt pour la phonétique acoustique.

Il peut théoriquement exister une infinité d'harmoniques, mais l'énergie des signaux réels est limitée, ce qui rend négligeable l'amplitude des harmoniques de haut rang. Cette règle générale n'implique pas forcément que l'harmonique an+1 sera plus faible que l'harmonique an.

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Quelques cas particuliers d'addition de sinusoïdes

La sommation de deux sinusoïdes est une opération assez simple : on obtient la courbe résultante en additionnant les élongations (i.e. les valeurs en ordonnée) aux points correspondants (en abscisse).

Si on additionne des sinusoïdes « en phase », dont les fréquences sont toutes des multiples de la plus petite fréquence, on obtient un signal triangulaire (en dents de scie).

Si on procède de même, mais en additionnant uniquement les harmoniques impaires, on obtient un signal carré.

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Comment traiter un son non-périodique

Par la transformation de Fourrier.

Soit un son aléatoire stationnaire : on peut sélectionner une partie du signal, pendant un temps T1, et la considérer comme la période d'un signal périodique, ce qui rend possible l'analyse de Fourier. (Plus l'intervalle de temps T1 est élevé, plus les raies du spectre seront nombreuses et rapprochées.)

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Courbe d'enveloppe

Par extension du procédé décrit précédemment, on peut prendre un temps T allant de moins l'infini à plus l'infini : on obtiendra alors un nombre infini de sinusoïdales et donc une infinité de raies spectrales. On peut ainsi définir l'enveloppe spectrale comme la courbe joignant les sommets de chaque raie spectrale.

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